Арбузный ломтик по средам № 166
Ряды и последовательности — кто за кем?
| |
— Люди построили храм. И молятся там три раза в день. А я тут должен сидеть как дурак и слушать.
— Это необязательно, — заметил Мазукта. — Ты можешь сидеть как умный.
Петр Бормор. Игры демиургов |
Интересно — люди придумали числа, назначили действия с ними, а потом стали с удивлением подмечать, что эти самые числа живут по каким-то своим законам, которые надо еще открывать и исследовать. Периодически, то тут, то там возникают споры на вечную тему: «математика описывает законы реального мира, или существует сама по себе, придуманная как шахматы?». Аргументов много как за ту, так и за другую позицию, окончательный вердикт не вынесен, зависит от направления взгляда на проблему. Не будем углубляться в споры, рассмотрим самую удивительную часть математики — процессы, порождающие числовые последовательности. Попробуйте поэкспериментировать, лучше вместе с детьми-школьниками, еще лучше на скучной лекции или занудном семинаре.
Первая задача — на сколько частей можно разрезать круглый пирог, проводя ножом N разрезов (разрезы прямые и не пересекаются в одной точке)? Вторая задача — сколько разных фигурок можно сложить из N спичек? На плоскости, естественно, спички соприкасаются концами. Сначала без учетов серных головок спичек, потом с учетом головок. Сколько разных фигурок можно сложить из N правильных треугольников? Насчет такой же задачи с квадратами можно и не спрашивать — фигурки знакомы по «Тетрису» и по древней рубрике в «Науке и жизни» — «Пентамино».
Классическая штука — треугольник из шаров в бильярде. Сколько шаров в треугольнике в зависимости от числа рядов? Задача, кстати, совпадает с детским вопросом о сумме первых чисел натурального ряда 1+2+3+4+5+… Но это в плоскости — а если укладывать пирамидой — тоже можно установить как количество шаров в каждом ряду, так и сумму всех шаров в пирамиде — хорошая разминка для развития пространственного воображения. Вообще говоря, задач с последовательностями даже в быту можно найти немало. Навскидку — количество сочетаний рифмованных окончаний в N строках стихотворения. Количество рукопожатий в кампании из N участников, количество вариантов рассаживания N гостей за круглым столом, количество ключей с вариантами из N бугорков в профиле и так далее.
А что же делать, если вы ученый или любитель, получили в результате наблюдения над каким-либо процессом какие-то числа — как узнать закономерность, как продлить последовательность, найти аналоги или общую формулу? Есть уникальная возможность переложить нудную работу на плечи тех, кто ее уже проделал, а самим сосредоточиться на творческой части. В Сети есть «Энциклопедия последовательностей», содержащая более 5400 последовательностей. И отвечающая всем по почте на запросы по поиску закономерностей. Надо отправить по адресу sequences@research.att.com одно единственное слово: «lookup» и перечислить через пробелы первые известные члены. В ответ получите исчерпывающую информацию — где встречается эта последовательность, ее первые 50 членов, общая формула и еще всякая полезная информация. Не стоит пренебрегать таким помощником. Спасибо создателям удивительного и полезного сервиса.
Если понравилась тема о последовательностях, то напомню, что уже были две колонки: «Компактное продолжение» и ««Еще более компактное продолжение» — можете приобщить к общему впечатлению.
14.05.2008
Теги: задачки
последовательности
|
